Beefsteakhack in eine Schüssel geben. Zwiebel schälen und auf das Hack reiben. Eigelb dazugeben. Alles gut mischen. Mit Salz, Pfeffer und Paprika kräftig würzen. Weißbrot toasten. Jede Scheibe mit etwa 5 g Butter bestreichen. Hack darüber verteilen und glatt streichen. Käsescheiben drauflegen. Grillroste mit Alufolie belegen. Brot draufsetzen. Rost in den vorgeheizten Grill auf die mittlere Schiene schieben. Grillzeit: 15 Minuten. Elektroherd: 220 Grad. Gasherd: Stufe 5 oder 1/2 große Flamme. In der Zwischenzeit die restliche Butter in einer Pfanne erhitzen. Eier nacheinander vorsichtig reinschlagen. Bei nicht zu starker Hitze offen 2 Minuten, dann zugedeckt noch mal 2 Minuten braten. Eiweiß schwach mit Salz und Pfeffer würzen.
Brot aus dem Grill nehmen. Auf 4 vorgewärmte Teller verteilen. Auf jede Scheibe ein Spiegelei setzen. Zum Garnieren die Gewürzgurken längs und quer halbieren und in Fächer schneiden. Jede Schnitte mit 2 Fächern garnieren und sofort servieren.